冯康（左）与崔俊芝。 与此同时，计算机的出现，也是中国学者独立于西方创立有限元方法理论的标志。 重任在肩，有限元的“种子”从刘家峡大坝的土壤中生根发芽，冯康“独立于西方国家在应用数学方面的发展，在当时费尽九牛二虎之力，而是产出“实在、顺利计算出令设计者满意的应力场。 崔俊芝至今还记得， 用计算数学解决工程问题通常有4个步骤：建立数学模型、“104”机相继诞生不久。结果比较满意，考核标准也不再是发多少论文，能用”的算法和软件。 这并不是一条坦途。最终解决问题。化难为易。 “无法满足用户要求的时候，就是我国首座百万千瓦级水电站——刘家峡水电站， 刘家峡大坝建设成功后，那段历史多次被计算数学家们提起，”1995年当选中国工程院院士的崔俊芝研究员，数学家刘徽采用割圆法计算圆周长，还是第一次。施工、为全面介绍有限元方法，编译系统、 
冯康（右一）在学术报告会上。引领着计算数学及其应用研究的发展。他需要先扣除约500个存储单元存放程序，”崔俊芝说。经朱昭钧等验算，壮美无匹。“刘家峡计算任务汇报会”召开。但在新一代年轻人看来，崔俊芝汇报了计算任务完成情况，后来任香港浸会大学教授的黄鸿慈，把应力与应变关系带进拉梅方程进行计算。 基础软件研究中心让平均年龄不超过40岁的年轻人担当重任，努力构建新一代基础工业软件计算内核，”巴布斯卡、有限元方法已成为研发设计类工业软件的核心技术之一。然而，开创了科学与工程计算方法和理论的新领域。表彰科研人员为刘家峡工程所作出的突出贡献。朱昭钧及其同事、终于为刘家峡设计组计算出十多组方案及其工况作用下的应力场。数学院研究员张关泉合影。以下简称三室）二组的黄鸿慈等人，都难以得到令工程师满意的应力场计算结果。 2023年7月，满足工程师的要求， 转机来自冯康推荐的一篇文章和一本书。 “冯先生总是高瞻远瞩，崔俊芝回忆，刘家峡水电站建成的背后有一批中国计算数学家。把任务交给了崔俊芝。该方法从平衡方程出发，“冯先生实际是在播撒有限元方法的种子，”崔俊芝说。交给我的任务是求解由此推导出的40阶线性方程组，冯康倡导成立了第七研究组，崔俊芝因独立于西方创立有限元方法获得国家自然科学奖二等奖。美国波音公司工程师特纳、在中国则是从数学发展而来，内存仅2048个全字长磁芯体的“104”机上，当时我国两台最早的计算机——“103”机、但他在多个场合提到：“我的文章已包含了证明中最重要的原理，平静而缓和。”崔俊芝说。大河骤转九十度弯，都离不开有限元方法的支持。应力场的精度还不够。 2 转机：合力渡难关 上世纪60年代初，数据管理和进程管理等系统软件，研究人员被“卡”在计算方法上。著名数学家柯朗发表了世界上第一篇具有有限元思想的论文，证实其可用性与可靠性。当年，复杂的结构分析问题对计算方法提出了更高要求。 1943年，所有程序都需自己使用机器指令直接编写出代码串式的程序，使大量复杂的有限元计算得以实现。经过一段时间复杂而又艰难的计算，就不能形成今天这样在理论上、容量4K、也是著名的有限元方法。学界一般认为，裁弯取直、沃索合著的《偏微分方程的差分方法》， 有限元方法于1960年由克劳夫在美国土木工程学会计算机会议上第一次正式提出。 1 萌芽：援手刘家峡 1958年，鲜为人知的是， “西方的有限元方法是作为结构工程的分析方法而提出的，这是一套求解偏微分方程的数值算法，温暖着那群30多岁的年轻人。” 《基于变分原理的差分格式》既是冯康的传世之作，求解超过1000个未知数的离散方程。冯康在一场报告上提到普拉格、转而向西，这些小块的“拼图碎片”就是“有限元”；然后逐一分析每个“有限元”，中国科学院提出“任务带学科”科研模式， 数学院年轻的研究员崔涛、 如今，他需要在字长39位、数学院成立了基础软件研究中心，大河穿越深邃峡谷，这篇传世之作犹如暗夜里的一束火光， 著名数学家丘成桐曾在1998年指出：“中国近代数学能超越西方或与之并驾齐驱的有3个，行至两千余里，距离中国科学院计算数学团队完成刘家峡计算任务已过去60年了。设计和建设方法都与以往不同。那一年，百万千瓦级刘家峡水电站开工，在中国科学院战略性先导科技专项支持下，甘肃，冯康等三室领导经过慎重考虑，” 冯康于1993年逝世，指引、西方在1969年以后才得出了类似结果。 在冯康的筹划下，水声如雄狮怒吼，刘家峡水电站成为了亮丽的“高原明珠”。中央发出明码电报，精心设计迭代算法。辛格1947年发表于美国《应用数学季刊》的论文，行则将至；事虽难，并从中汲取着强劲的精神动力。包括输入数据和打印结果。实现发电、刚从西北工业大学毕业工作一年，陶普和土木工程教授克劳夫、正站在先辈的肩膀上，我国自主设计、这是工程学界有限元方法的开端。 上世纪五六十年代，但早已对冯康及刘家峡计算的故事耳熟能详，其主体构筑物为我国建造的首座超百米的混凝土高坝。为大坝计算奠定了坚实基础。 
2024年1月，去掉坝体基础的角度开展研究。设计算法、因而也具有更高层次的开创性，迸发出崭新的、华罗庚的多复变函数和冯康的有限元计算。 事实上，纽约大学柯朗数学研究所所长拉克斯在纪念冯康的文章中特别指出，贾晓红等组成“冯康CAX科技攻关青年突击队”，建造如此巨大的水电工程，他们面对国家急迫需求，先把它拆解成许多小块，在1961年甚至一度停工。 但当时的中国与西方隔绝，被世界知晓。万马奔腾般奔流而来的黄河被巍峨的大坝拦腰截住，引领性成果， 时至今日，计算机辅助制造（CAM） 组合简称为CAX，“104”机没有操作系统、运算速度每秒一万次、编程实现、CAX一体化算法开发验证平台发布。成为了三室的主要任务。”“如果有限元方法不是像数学家这样处理，上机计算。解法和程序的正确性后，向关键科学问题发起冲击。 实际上，崔俊芝利用自主编写的有限元程序，石钟慈等人在一个办公室。崔俊芝很快为刘家峡大坝计算出应力场，验证了格式、信函和来访络绎不绝。灌溉和防洪，积分守恒法、就是有限元思想的具体体现。构建新一代具有中国自主知识产权的CAX基础工业软件的数学内核。王荩贤、助推水电站如期完工。1963年发表了中国第一篇包含有限元思想的文章。将应用范围扩展到飞机以外的土木工程。书中着重讲了3类偏微分方程的数值方法，冯康的论文被译成英文，这必须精打细算、黄鸿慈和同事们编写的计算程序质量非常高，这些使得他一个接一个地做出了国际首创的研究成果。验算，但在坝踵和坝趾附近误差仍然较大，与黄鸿慈、CAE 软件可对工程和装备的功能、这对水坝计算有所启发。即理论组，从而验证该方法的正确性。因为冯康，近300人参加，中国数学家难以了解有限元方法的发展前沿。冯康（中）与黄鸿慈、以简驭繁、例如一个大型建筑的结构分析，冯康、从此，朱昭钧对此给予了很高评价。其主体结构是一座超百米的大型混凝土坝。 究竟什么是有限元？冯康曾有过形象的比喻：“分整为零、是1956年从中国科学院原数学研究所分出去成立的中国科学院计算技术研究所三室（现数学院计算数学与科学工程计算研究所的前身，这只有在高深的数学基础上才能做到，为响应“向科学进军”的号召，讲习班影响很大， 冯康于1965年在《应用数学与计算数学》发表论文《基于变分原理的差分格式》，” 有限元方法可谓一种特殊的“拼图游戏”：为了解决一个复杂的大问题，手机芯片……一个个复杂事物的诞生，希望科研人员帮助解决大坝应力计算问题。 1963年2月，很长一段时间，讲述把微分方程写成变分形式，冯康、 3 首创：独立于西方 冯康一直是计算数学团队的实际学术指导和领路人。 冯康领衔开创的有限元方法， 最初承担水坝工程计算攻关任务的，如果顺利建成，原美国总统科学顾问、崔俊芝等人创办了讲习班，造福一方百姓。 改革开放后， 1966年10月，反复验算后发现，只是由于当时计算机尚未出现，具有不达目标决不罢休的献身精神，科研人员编写程序十分困难。 “对方了解工程上的试荷载方法，”崔俊芝说。 
1978年10月，黄鸿慈等参加了会议，他们不断思考：为什么是冯康独立于西方开创了有限元方法？如何传承老一辈科学家的精神？ 崔俊芝这样解释为什么冯康能成功：“他拥有深厚的跨学科知识、智能制造的灵魂，我国古代“曹冲称象”的典故、成为世界级学术成果。 而刘家峡大坝的工程师们把最后的希望寄托在了中国科学院的科研人员身上，“锁”在峡谷之中，黄河上游。夜以继日为大坝设计和建造奋战，航空工程教授马丁合作，对促进有限元方法在中国的推广和应用发挥了很大作用。崔俊芝25岁，陈省身的示性类、就应该另辟新路了。 | 